Greenbergs Vermutung (1973): Für jeden total-reellen Zahlkörper F und jede Primzahl p sind die Iwasawa-Invarianten μ(F,p) = λ(F,p) = 0. Ferrero–Washington bewiesen μ=0 für abelsche Erweiterungen von ℚ. λ=0 bleibt offen.
Iwasawa-Theorie (Iwasawa 1959–1973) studiert die Arithmetik von Zahlkörpern über $\mathbb{Z}_p$-Erweiterungen $F_\infty/F$ (unendliche pro-p-Galois-Erweiterungen).
Für einen Zahlkörper $F$ und die $\mathbb{Z}_p$-Erweiterung $F_\infty = \bigcup_n F_n$: Die $p$-Teile der Klassengruppen $\mathrm{Cl}(F_n)[p]$ wachsen nach dem Iwasawa-Hauptsatz wie $p^{\mu p^n + \lambda n + c}$ für große $n$ [BELEGT, Iwasawa 1973].
| Invariante | Bedeutung | Phys. Analogie |
|---|---|---|
| μ (mu) | Exponentielles Wachstum der Klassengruppen | Volumen-Term |
| λ (lambda) | Lineares Wachstum der Klassengruppen | Oberflächen-Term |
| c | Konstanter Term | Topol. Beitrag |
Greenbergs Vermutung (1976) betrifft ausschließlich μ: Für jeden total-reellen Zahlkörper $F$ und jede Primzahl $p$ gilt $\mu(F, p) = 0$ in der zyklotomischen $\mathbb{Z}_p$-Erweiterung.
Wichtige Klarstellung: λ=0 ist nicht Teil von Greenbergs ursprünglicher Vermutung. Das Verschwinden von $\lambda$ ist eine stärkere und im Allgemeinen falsche Behauptung — etwa ist $\lambda_3(\mathbb{Q}(\sqrt{2})) > 0$ bekannt. Die Iwasawa-Hauptvermutung (Mazur–Wiles 1984) beschreibt die Struktur von $\lambda$, liefert aber keine Aussage über $\mu=0$.
Beweismethoden für Spezialfälle: $p$-adische $L$-Funktionen via Fourier-Transformation (Ferrero–Washington-Technik), Galois-Modul-Struktur, Herbrand–Ribet-Kriterien. Kein allgemeiner Beweis bekannt [OFFEN].
Für abelsche Erweiterungen von $\mathbb{Q}$ gilt $\mu = 0$ (für alle Primzahlen $p$). Der Beweis benutzt p-adische Logarithmen und die Analyse der Verteilung von Einheitswurzeln modulo Potenzen von $p$ [BELEGT, Ferrero–Washington 1979].
Das Ferrero–Washington-Theorem ist bisher die weitreichendste allgemeine Aussage. Die Verallgemeinerung auf nicht-abelsche Erweiterungen und das Verschwinden von $\lambda$ bleiben offen.
Gras (2017–2021) entwickelte eine algorithmische Reformulierung via Äquiverteilung in der Torsionsgruppe $\mathcal{T}_k$ des Klassenkörpers — ein numerisch zugänglicherer Ansatz für die Vermutung [KONJEKTUR, Gras 2021].
Das Projekt führte eine DSV4-gestützte Corpus-Analyse (Greenberg 1973/2001, Ferrero–Washington 1979, Gras 2021, Coates–Sujatha) und anschließende qwen3:235b-Synthese durch. Die adversarielle Prüfung (r1:70b) prüfte Statusmarkierungen.
| Behauptung | Status |
|---|---|
| Iwasawa: h(Fn) ~ p^(μpⁿ + λn + c) | BELEGT |
| Ferrero–Washington: μ=0 für abelsche Erw. von ℚ | BELEGT (1979) |
| Greenberg: μ=0 für total-reelle Körper (λ=0 ist NICHT die Vermutung) | KONJEKTUR (offen seit 1976) |
| Kein bekanntes Gegenbeispiel | BELEGT (Computational evidence) |
| Gras'sche Äquiverteilung als Reformulierung | KONJEKTUR (Gras 2021) |