Test Project · Local AI Infrastructure · Berlin · June 2026

Gravitational Collapse — Numerics & Analytics

Two complementary sub-projects: (1) Choptuik critical collapse via SpheriCo.jl, (2) ODE parameter study of Gravastar formation (Jampolski–Rezzolla). Both executed on Mac Studio M3 Ultra, fully locally.

SpheriCo.jl v0.1.0 · NRPy+ v2.1.1 · SFcollapse1D (arm64) · Julia 1.12.6 · Python 3.11 (nr_env) · SciPy · Mac Studio M3 Ultra (256 GB) · June 2026

Overview and Software Stack

Tool	Version / Path	Purpose
`SpheriCo.jl`	v0.1.0 · `~/.julia/packages/SpheriCo/VAgaD/`	Spherically symmetric scalar field collapse, Choptuik project
`NRPy+`	v2.1.1 · `~/miniforge3/envs/nr_env/` (Python 3.11)	Symbolic GR code generation; Jupyter kernel registered
`SFcollapse1D`	arm64 binary · `/Volumes/CLAUDE-DATA/SFcollapse1D/`	Scalar field collapse in C++ (GCC 15.2.0, -O2 -fopenmp)
HDF5	v2.1.1 (Homebrew) + HDF5.jl v0.17.3	Output format for SpheriCo.jl simulations

The GR-PHASE ODE system and Choptuik bisection were implemented in Python (SciPy Radau solver, rtol=1e-8, atol=1e-10) and Julia (SpheriCo.jl) respectively. All computations ran locally on Mac Studio M3 Ultra, without any cloud API calls.

Sub-project 1

Choptuik Critical Collapse — SpheriCo.jl

Starting point and method

Choptuik's (1993) critical collapse of a massless scalar field in spherical symmetry is the prototype for Type-II critical phenomena in general relativity: near the critical amplitude p_c, black hole mass scales as M_BH ∝ (p − p_c)^γ with universal γ ≈ 0.374. Discrete self-similarity (DSS) produces oscillations in M_BH(p). The computation used SpheriCo.jl v0.1.0 with a Gaussian pulse initial profile (r_c=0, width=2, r_max=12, N_r=259).

Result 1: Critical amplitude

p_c = 0.165524768573898 (50 bisection steps, Δ=3.61×10⁻¹⁶ = machine precision)
Runtime: 11 minutes. SpheriCo.jl detects apparent horizon formation and terminates sub-critical runs cleanly.

Result 2: Mass-scaling exponent γ

Two methods were applied to the M_BH(dp) data (dp = p − p_c):

Method	γ	Deviation from lit. (0.37454)	Remark
Minima-Envelope	0.368	1.8%	Extracts slope from local minima of M_BH(dp); avoids DSS noise. Physically reliable.
Naive linear fit	0.637	70%	All 19 BH data points including far from p_c; dominated by DSS oscillations. Not reliable.

Outcome: γ = 0.368 ± ~0.007 (Minima-Envelope), 1.8% below Choptuik reference γ=0.37454. DSS oscillations in M_BH(dp) directly observed. The 70% deviation of the naive fit is a methodological artefact.

Limitation: High-resolution run (N_r=1025) yielded only 3 BH points before t_max boundary near p_c. Higher t_max or adaptive stepping needed to reduce the 1.8% discrepancy further.

Scripts and data

/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_bisect.jl — 50-step bisection
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_worker.jl — single-run worker
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_gamma_fix.jl — high-resolution γ attempt
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/choptuik/choptuik_log.txt — full bisection log
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/choptuik/mass_scaling.dat — M_BH(dp) data

Sub-project 2

GR-PHASE: Phase Diagram of Gravastar Formation (Jampolski–Rezzolla)

Paper and model

Based on Jampolski & Rezzolla, arXiv:2509.15302. Three spacetime regions: Region I (de Sitter, interior, p_I=−e_I), Region II (dust shell), Region III (Schwarzschild exterior). Master ODE governs junction dynamics. Three outcomes: Black Hole (R₂<2M before ρ₁=ρ₂), Gravastar (equilibrium at R₂=2M), No-Equilibrium. Free parameters: e_I/e_II(initial), |k_I|/k_II, R̅₂/M (compactness C=M/R̅₂≤3/8). Implementation: grphase_core.py (v3), SciPy Radau (rtol=1e-8, atol=1e-10).

Result 1: Phase diagram (parameter scan)

R̅₂/M	C=M/R̅₂	Black Holes	Gravastars	No-Equilibrium
9.0	0.111	0	0	625
4.5	0.222	1	2	622
3.0	0.333	78	43	504

Gravastars form preferentially at high compactness C near 3/8. At low compactness (R̅₂=9, C=0.111), No-Equilibrium dominates. This confirms Jampolski & Rezzolla's central finding. Data: /Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/scan/scan_Rb{3.00,4.50,9.00}.json

Result 2: Separatrix scaling exponent γ ≈ 1

At fixed R̅₂=3.0, separatrix located at 5 k_I values by bisection (precision ≤4×10⁻⁷), then power-law fit |δ| ∝ |e_I−e_I^c|^γ:

k_I	e_I^c	γ_BH	R²	γ_No-Eq	R²
0.080	`0.26282096`	1.0353	0.999	0.9754	1.000
0.150	`0.15914923`	1.0330	0.999	0.9763	1.000
0.250	`0.09208269`	1.0112	0.999	0.9982	0.999
0.400	`0.04297263`	1.0245	1.000	0.9802	1.000
0.600	`0.00922827`	0.9888	1.000	1.0154	0.999

γ_BH = 1.019 ± 0.017 | γ_No-Eq = 0.989 ± 0.016 (N=5, R²>0.999 in all cases)

Comparison: Choptuik 1993 (scalar field, D=4): γ=0.374, Type-II DSS · Boson star (CSS, D=4): γ=0.26, Type-II CSS · Jampolski-ODE (BH↔Gravastar): γ=1.0, Landau-type, generic

Physical conclusion: γ≈1.0 indicates Landau-type (mean-field) critical behavior. The BH↔Gravastar separator is not a Type-II critical point: no DSS/CSS echoing, no universal scaling. The transition is controlled by a codimension-1 surface in parameter space with smooth (non-universal) structure.

Result 3: Separatrix geometry — no simple power law

Fit of e_I^c(k_I) = A × k_I^α for four R̅₂ values:

R̅₂/M	α (free fit)	R²	RMS (α=−3/2)	RMS (α=−π/2)
2.8	−0.886 ± 0.088	0.911	0.974	1.068
3.0	−0.837 ± 0.077	0.944	0.750	0.823
3.5	−0.933 ± 0.096	0.960	0.428	0.476
4.0	−1.393 ± 0.230	0.925	0.244	0.258

Conclusion: α varies from −0.84 to −1.39 with R̅₂. No universal exponent. α=−3/2 consistently better than α=−π/2 but both inferior to free fit. Variation too large for single-parameter description.

Physical reason: The Gravastar condition involves T_★(e_I, k_I) = (1/H_I) arcsinh(2M H_I/√k_I) and τ_★≈3.99. Junction conditions couple T and τ non-trivially, precluding a closed-form e_I^c(k_I).

Scripts and data

/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_core.py — ODE system v3
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_scan.py — parallel parameter scan
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_separatrix.py — bisection + γ analysis
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_separatrix_geometry.py — geometry fits
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix/separatrix_log.txt
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix/slice_k*.json
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix_geometry/geometry_log.txt

Sub-project 3

EEG-DSS: Analytical DSS Solutions in the Large-D Limit (Ecker–Ecker–Grumiller)

Based on Ecker, Ecker & Grumiller, arXiv:2601.14358 (PRL 2026). LO+NLO analytical solutions implemented in Python (SciPy, NumPy, Mac Studio M3 Ultra). Four computational phases executed on 2026-06-14 in under 1 second. Status: executed.

Mathematical framework

Coordinate transformation τ=−ln(−t), x=−r/t, small parameter ε=1/(D−1). DSS condition: fields periodic in τ with period Δ. Free integration function β(τ+Δ)=β(τ). LO solutions (Eqs. 7–13): Π_LO=β/√(1+β²x²), f_LO=√((1+β²x²)/(1+β²)). NLO correction (Eqs. 17–18): Π_NLO=[4β²x²(1+β²)(β+β')²+p₁ln(1+β²x²)]/[2β³(1+β²x²)^5/2] with explicit polynomials p₁–p₄. NLO consistency condition (Eq. 20): Δ=|β''|/(3|β'|) at β=0 — uniquely fixes the echo period.

Result 1: Paper example reproduced (Phase 0, D=300)

NEC vertex: τ₀ = 0.24018424593 | Δ_implied = 1.0000000 ± 3.6×10⁻⁸ (machine precision)

Field ranges and NLO corrections at D=300 (ε=0.00334):
Π: LO ∈ [−1.016, +1.016], max|εΠ_NLO| = 0.074 (7.4% correction)
f: LO ∈ [0.701, 1.000], max(f_total−1) = −3.2×10⁻⁸ → convexity f≤1 satisfied ✓

NEC lines: LO: τ=0.240184 (horizontal) · NLO: τ=0.240184+0.00334x (tilt εx) · SSH shift: Δτ=0.00334

Result 2: Consistency landscape (Phase 1a, 50×50 grid)

120/2500 points satisfy |Δ_implied−1|<5%. The computed consistency line reveals a simple structure: A₃≈A₁/15.95 (linear). The paper constant A=15.9476 is universal for the 2-mode Fourier class. Two branches exist (positive and negative A₃), corresponding to qualitatively different DSS solution families.

Result 3: D_min map and optimal β (Phase 1b/1c)

A₁	A₃ (consistent)	D_min (LO+NLO)
0.40	0.0251	80 ← minimum found
0.50	0.0314	82
0.75	0.0470	90
1.00 (paper)	0.0627	≈100 (LO+NLO) vs. 52 (paper NNLO)
2.50	0.1568	287

Discrepancy vs. paper: Our LO+NLO gives D_min≈100 for A₁=1; the paper finds 52 from NNLO (Supplement Eqs. S10–S18, not implemented here). Factor ~2 gap is the expected NNLO contribution. Qualitative trend correctly captured: smaller amplitude → smaller D_min.

Result 4: Convergence of the 1/D series (Phase 2)

D	ε	max\|εΠ_NLO/Π_LO\|	max(f_total−1)
4 (Choptuik)	0.333	17.4	+2.27 — divergent!
52 (paper D_min)	0.0196	1.026	+0.019
100	0.0101	0.529	+1.2×10⁻⁴
300	0.00334	0.175	−1.5×10⁻⁶ (≤1 ✓)

Convergence finding: The 1/D series requires D≥~200 for f≤1 globally (17% NLO correction at D=300). Converges fast near center x≈0, slowly near SSH x=1. At D=4 (Choptuik): NLO/LO=17, f=1+2.27 — 1/D perturbation theory is completely inapplicable to the physical Choptuik problem. This confirms that EEG solutions are large-D objects with no perturbative connection to D=4 critical collapse.

Scripts and data

/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/eeg_main.py — complete LO+NLO implementation
/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/results/eeg_log.txt — full computation log
/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/results/phase0/phase0.json · phase1/phase1a.json · phase2/convergence.json

Overall Assessment

Sub-project	Type	Outcome
1 — Choptuik (SpheriCo.jl)	Numerical GR	p_c=0.16552476857... (machine precision) · γ=0.368 (1.8% from lit.) · DSS oscillations observed
2 — GR-PHASE ODE (Jampolski-Rezzolla)	ODE parameter study	Phase diagram (3×625 pts) · γ≈1.0 Landau-type (NOT Choptuik) · Separatrix: no universal power law
3 — EEG-DSS (Ecker et al.)	LO+NLO Python (4 phases)	τ₀=0.24018, Δ=1.000000 ✓ · D_min,opt=80 · 1/D diverges at D=4 (NLO/LO=17)

T. Riepe, Berlin. June 2026. Numerical relativistic computations on Mac Studio M3 Ultra (256 GB). Papers: Jampolski & Rezzolla arXiv:2509.15302; Ecker, Ecker & Grumiller arXiv:2601.14358; Choptuik (1993) Phys. Rev. Lett. 70, 9. Software: SpheriCo.jl (Giannakopoulos et al., arXiv:2412.19722), NRPy+, SFcollapse1D.

Testprojekt · Lokale KI-Infrastruktur · Berlin · Juni 2026

Gravitationskollaps — Numerik & Analytik

Zwei komplementäre Teilprojekte: (1) Choptuik-kritischer Kollaps via SpheriCo.jl, (2) ODE-Parameterstudie der Gravastar-Bildung (Jampolski–Rezzolla). Beide vollständig lokal auf Mac Studio M3 Ultra ausgeführt.

SpheriCo.jl v0.1.0 · NRPy+ v2.1.1 · SFcollapse1D (arm64) · Julia 1.12.6 · Python 3.11 (nr_env) · SciPy · Mac Studio M3 Ultra (256 GB) · Juni 2026

Software-Stack

Tool	Version / Pfad	Verwendung
`SpheriCo.jl`	v0.1.0 · `~/.julia/packages/SpheriCo/VAgaD/`	Sphär. symmetrischer Skalarfeld-Kollaps, Choptuik-Projekt
`NRPy+`	v2.1.1 · `~/miniforge3/envs/nr_env/` (Python 3.11)	Symbolische GR-Codegenerierung; Jupyter-Kernel registriert
`SFcollapse1D`	arm64-Binary · `/Volumes/CLAUDE-DATA/SFcollapse1D/`	Skalarfeld-Kollaps in C++ (GCC 15.2.0, -O2 -fopenmp)
HDF5	v2.1.1 (Homebrew) + HDF5.jl v0.17.3	Ausgabeformat für SpheriCo.jl-Simulationen

Teilprojekt 1

Choptuik-Kritischer Kollaps — SpheriCo.jl

Ausgangspunkt und Methode

Choptuiks (1993) kritischer Kollaps eines masselosen Skalarfeldes in sphärischer Symmetrie ist der Prototyp für Typ-II-kritische Phänomene in der ART: nahe der kritischen Amplitude p_c skaliert die Schwarzlochmasse als M_SL ∝ (p−p_c)^γ mit universellem γ ≈ 0,374. Diskrete Selbstähnlichkeit (DSS) erzeugt Oszillationen in M_SL(p). SpheriCo.jl v0.1.0, Gauß-Puls (r_c=0, Breite=2, r_max=12, N_r=259).

Ergebnis 1: Kritische Amplitude

p_c = 0,165524768573898 (50 Bisektionsschritte, Δ=3,61×10⁻¹⁶ = Maschinenpräzision)
Laufzeit: 11 Minuten. SpheriCo.jl erkennt Apparent-Horizon-Bildung und beendet subkritische Läufe sauber.

Ergebnis 2: Massenskalierungs-Exponent γ

Methode	γ	Abweichung von Lit. (0,37454)	Bemerkung
Minima-Envelope	0,368	1,8 %	Steigung aus lokalen Minima von M_SL(dp); vermeidet DSS-Rauschen. Physikalisch zuverlässig.
Naiver Linearfit	0,637	70 %	Alle 19 SL-Datenpunkte inkl. weit von p_c; von DSS-Oszillationen dominiert. Nicht zuverlässig.

Ergebnis: γ = 0,368 ± ~0,007 (Minima-Envelope), 1,8 % unter Choptuik-Referenzwert 0,37454. DSS-Oszillationen in M_SL(dp) direkt beobachtet. Die 70 %-Abweichung des naiven Fits ist ein methodisches Artefakt.

Einschränkung: Hochauflösungslauf (N_r=1025) lieferte nur 3 SL-Punkte vor der t_max-Grenze nahe p_c. Für weitere Reduktion der 1,8 %-Abweichung wäre höheres t_max oder adaptives Zeitstepping erforderlich.

Skripte und Daten

/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_bisect.jl — 50-Schritt-Bisektion
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_worker.jl — Einzellauf-Worker
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/scripts/choptuik_gamma_fix.jl — Hochauflösungs-γ-Versuch
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/choptuik/choptuik_log.txt — Vollständiges Bisektionsprotokoll
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/choptuik/mass_scaling.dat — M_SL(dp)-Daten

Teilprojekt 2

GR-PHASE: Phasendiagramm der Gravastar-Bildung (Jampolski–Rezzolla)

Paper und Modell

Basierend auf Jampolski & Rezzolla, arXiv:2509.15302. Drei Raumzeitregionen: Region I (de Sitter, p_I=−e_I), Region II (Staubschale), Region III (Schwarzschild). Master-ODE steuert Junctions-Dynamik. Drei Kollapsausgänge: Schwarzes Loch (R₂<2M bevor ρ₁=ρ₂), Gravastar (Gleichgewicht bei R₂=2M), Kein-Gleichgewicht. Freie Parameter: e_I/e_II, |k_I|/k_II, R̄₂/M (Kompaktheit C≤3/8). Implementierung: grphase_core.py (v3), SciPy Radau (rtol=1e-8, atol=1e-10).

Ergebnis 1: Phasendiagramm (Parameterscan)

R̄₂/M	C=M/R̄₂	Schwarze Löcher	Gravastare	Kein-Gleichgewicht
9,0	0,111	0	0	625
4,5	0,222	1	2	622
3,0	0,333	78	43	504

Gravastare entstehen bevorzugt bei hoher Kompaktheit C nahe 3/8. Bei niedriger Kompaktheit (C=0,111) dominiert Kein-Gleichgewicht. Bestätigt den zentralen Befund von Jampolski & Rezzolla.

Ergebnis 2: Separatrix-Skalierungsexponent γ ≈ 1

Bei festem R̄₂=3,0, Separatrix an 5 k_I-Werten durch Bisektion (Genauigkeit ≤4×10⁻⁷), dann Potenzgesetz-Fit |δ| ∝ |e_I−e_I^c|^γ:

k_I	e_I^c	γ_SL	R²	γ_KG	R²
0,080	`0,26282096`	1,0353	0,999	0,9754	1,000
0,150	`0,15914923`	1,0330	0,999	0,9763	1,000
0,250	`0,09208269`	1,0112	0,999	0,9982	0,999
0,400	`0,04297263`	1,0245	1,000	0,9802	1,000
0,600	`0,00922827`	0,9888	1,000	1,0154	0,999

γ_SL = 1,019 ± 0,017 | γ_KG = 0,989 ± 0,016 (N=5, R²>0,999 in allen Fällen)

Vergleich: Choptuik 1993 (Skalarfeld, D=4): γ=0,374, Typ-II DSS · Boson-Stern (CSS, D=4): γ=0,26, Typ-II CSS · Jampolski-ODE (SL↔Gravastar): γ=1,0, Landau-Typ, generisch

Physikalische Schlussfolgerung: γ≈1,0 zeigt Landau-artiges (Molekularfeld-) kritisches Verhalten. Die SL↔Gravastar-Separatrix ist kein Typ-II-kritischer Punkt im Choptuik-Sinne: kein DSS/CSS-Echo-Mechanismus, keine universelle Skalierung. Der Übergang wird durch eine Kodimension-1-Fläche im Parameterraum mit glatter (nicht-universeller) Struktur kontrolliert.

Ergebnis 3: Separatrix-Geometrie — kein einfaches Potenzgesetz

Fit e_I^c(k_I) = A × k_I^α für vier R̄₂-Werte:

R̄₂/M	α (freier Fit)	R²	RMS (α=−3/2)	RMS (α=−π/2)
2,8	−0,886 ± 0,088	0,911	0,974	1,068
3,0	−0,837 ± 0,077	0,944	0,750	0,823
3,5	−0,933 ± 0,096	0,960	0,428	0,476
4,0	−1,393 ± 0,230	0,925	0,244	0,258

Schlussfolgerung: α variiert von −0,84 bis −1,39 mit R̄₂. Kein universeller Exponent. α=−3/2 ist in allen Fällen besser als α=−π/2, aber beide dem freien Fit unterlegen.

Physikalischer Grund: Die Gravastar-Bedingung ist transzendental: T_★(e_I, k_I) = (1/H_I) arcsinh(2M H_I/√k_I) und τ_★≈3,99. Junktions-Bedingungen koppeln T und τ nicht-trivial → kein geschlossener Ausdruck für e_I^c(k_I).

Skripte und Daten

/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_core.py — ODE-System v3
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_scan.py — paralleler Parameterscan
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_separatrix.py — Bisektion + γ-Analyse
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/grphase_separatrix_geometry.py — Geometrie-Fits
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix/separatrix_log.txt
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix/slice_k*.json
/Volumes/CLAUDE-DATA/GR-PHASE/results/separatrix_geometry/geometry_log.txt

Teilprojekt 3

EEG-DSS: Analytische DSS-Lösungen im Large-D-Limes (Ecker–Ecker–Grumiller)

Basierend auf Ecker, Ecker & Grumiller, arXiv:2601.14358 (PRL 2026). LO+NLO-Felder in Python implementiert und ausgeführt (SciPy, NumPy, Mac Studio M3 Ultra). Vier Berechnungsphasen ausgeführt am 2026-06-14 in unter 1 Sekunde. Status: ausgeführt.

Mathematisches Gerüst

Koordinatentransformation τ=−ln(−t), x=−r/t, kleiner Parameter ε=1/(D−1). DSS-Bedingung: alle Felder periodisch in τ mit Periode Δ. Freie Integrationsfunktion β(τ+Δ)=β(τ). LO-Lösungen (Gl. 7–13): Π_LO=β/√(1+β²x²), f_LO=√((1+β²x²)/(1+β²)). NLO-Korrektur (Gl. 17–18): Π_NLO=[4β²x²(1+β²)(β+β')²+p₁ln(1+β²x²)]/[2β³(1+β²x²)^5/2] mit expliziten Polynomen p₁–p₄. NLO-Konsistenzbedingung (Gl. 20): Δ=|β''|/(3|β'|) bei β=0 — fixiert die Echoperiode eindeutig.

Ergebnis 1: Paper-Beispiel reproduziert (Phase 0, D=300)

NEC-Vertex: τ₀ = 0,24018424593 | Δ_implied = 1,0000000 ± 3,6×10⁻⁸ (Maschinenpräzision)

Feldbereiche und NLO-Korrekturen bei D=300 (ε=0,00334):
Π: LO ∈ [−1,016; +1,016], max|εΠ_NLO| = 0,074 (7,4% Korrektur)
f: LO ∈ [0,701; 1,000], max(f_total−1) = −3,2×10⁻⁸ → Konvexität f≤1 erfüllt ✓

NEC-Linien: LO: τ=0,240184 (horizontal) · NLO: τ=0,240184+0,00334x (NEC-Winkel εx) · SSH-Verschiebung: Δτ=0,00334

Ergebnis 2: Konsistenz-Landscape (Phase 1a, 50×50-Gitter)

120/2500 Punkte erfüllen |Δ_implied−1|<5%. Konsistenzlinie: A₃≈A₁/15,95 (lineare Relation). Die Konstante 15,9476 des Papers ist universell für den 2-Moden-Fourier-Ansatz. Zwei Äste (positives und negatives A₃) entsprechen qualitativ verschiedenen DSS-Lösungsfamilien.

Ergebnis 3: D_min-Karte und optimales β (Phase 1b/1c)

A₁	A₃ (konsistent)	D_min (LO+NLO)
0,40	0,0251	80 ← Minimum auf Konsistenzlinie
0,50	0,0314	82
0,75	0,0470	90
1,00 (Paper)	0,0627	≈100 (LO+NLO) vs. 52 (Paper, NNLO)
2,50	0,1568	287

Diskrepanz zum Paper: Unsere LO+NLO-Analyse gibt D_min≈100 für A₁=1; das Paper findet 52 aus NNLO-Analyse (Supplement Gl. S10–S18, hier nicht implementiert). Faktor ~2 Unterschied = erwarteter NNLO-Beitrag. Qualitativer Trend korrekt: kleinere Amplitude → kleineres D_min.

Ergebnis 4: Konvergenz der 1/D-Reihe (Phase 2)

D	ε	max\|εΠ_NLO/Π_LO\|	max(f_total−1)
4 (Choptuik)	0,333	17,4	+2,27 — Divergenz!
52 (D_min Paper)	0,0196	1,026	+0,019
100	0,0101	0,529	+1,2×10⁻⁴
300	0,00334	0,175	−1,5×10⁻⁶ (≤1 ✓)

Konvergenzergebnis: Die 1/D-Entwicklung ist global gültig (f≤1, NLO-Korrektur <20%) erst für D≥~200. Am SSH (x=1) konvergiert die Reihe langsamer als im Zentrum (x≈0). Für D=4 (Choptuik): NLO/LO=17, f_total=1+2,27 — 1/D-Störungstheorie für das physikalische Choptuik-Problem vollständig unanwendbar. EEG-Lösungen sind Large-D-Objekte ohne perturbative Verbindung zu D=4-Kollaps.

Skripte und Daten

/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/eeg_main.py — vollständige LO+NLO-Implementierung
/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/results/eeg_log.txt — vollständiges Berechnungsprotokoll
/Volumes/CLAUDE-DATA/EEG-DSS/results/phase0/phase0.json · phase1/phase1a.json · phase2/convergence.json

Gesamtbilanz

Teilprojekt	Art	Abschluss
1 — Choptuik (SpheriCo.jl)	Numerische Relativität	p_c=0,16552476857... (Maschinenpräzision) · γ=0,368 (1,8 % von Lit.) · DSS-Oszillationen beobachtet
2 — GR-PHASE ODE (Jampolski–Rezzolla)	ODE-Parameterstudie	Phasendiagramm (3×625 Punkte) · γ≈1,0 Landau-Typ (NICHT Choptuik) · Separatrix: kein universelles Potenzgesetz
3 — EEG-DSS (Ecker et al.)	LO+NLO Python (4 Phasen)	τ₀=0,24018, Δ=1,000000 ✓ · D_min,opt=80 · 1/D divergiert bei D=4 (NLO/LO=17)

T. Riepe, Berlin. Juni 2026. Numerisch-relativistische Berechnungen auf Mac Studio M3 Ultra (256 GB). Paper: Jampolski & Rezzolla arXiv:2509.15302; Ecker, Ecker & Grumiller arXiv:2601.14358; Choptuik (1993) Phys. Rev. Lett. 70, 9. Software: SpheriCo.jl (Giannakopoulos et al., arXiv:2412.19722), NRPy+, SFcollapse1D.

Gravitational Collapse — Numerics & Analytics

Overview and Software Stack

Starting point and method

Result 1: Critical amplitude

Result 2: Mass-scaling exponent γ

Scripts and data

Paper and model

Result 1: Phase diagram (parameter scan)

Result 2: Separatrix scaling exponent γ ≈ 1

Result 3: Separatrix geometry — no simple power law

Scripts and data

Mathematical framework

Result 1: Paper example reproduced (Phase 0, D=300)

Result 2: Consistency landscape (Phase 1a, 50×50 grid)

Result 3: Dmin map and optimal β (Phase 1b/1c)

Result 4: Convergence of the 1/D series (Phase 2)

Scripts and data

Overall Assessment

Gravitationskollaps — Numerik & Analytik

Software-Stack

Ausgangspunkt und Methode

Ergebnis 1: Kritische Amplitude

Ergebnis 2: Massenskalierungs-Exponent γ

Skripte und Daten

Paper und Modell

Ergebnis 1: Phasendiagramm (Parameterscan)

Ergebnis 2: Separatrix-Skalierungsexponent γ ≈ 1

Ergebnis 3: Separatrix-Geometrie — kein einfaches Potenzgesetz

Skripte und Daten

Mathematisches Gerüst

Ergebnis 1: Paper-Beispiel reproduziert (Phase 0, D=300)

Ergebnis 2: Konsistenz-Landscape (Phase 1a, 50×50-Gitter)

Ergebnis 3: Dmin-Karte und optimales β (Phase 1b/1c)

Ergebnis 4: Konvergenz der 1/D-Reihe (Phase 2)

Skripte und Daten

Gesamtbilanz

Result 3: D_min map and optimal β (Phase 1b/1c)

Ergebnis 3: D_min-Karte und optimales β (Phase 1b/1c)