Sechs Teilprojekte untersuchen Verbindungen zwischen Floer-Homologie und kondensierter/solider Mathematik: von Springer-Fasern auf der FF-Kurve bis zur TDA-Analyse von Hitchin-Fasern.
Verbindung zwischen Dedekind-Summen $s(a,b)$ und Floer-Homologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Der Casson-Walker-Invariant enthält Dedekind-Summen als kombinatorische Korrekturglieder.
Kern-Konjektur [OFFEN]: Die Floer-$d$-Invarianten von Linsenräumen $L(p,q)$ sind durch Dedekind-Summen ausdrückbar: $d(L(p,q)) \sim s(q,p) \mod \mathbb{Z}$. Dies ist teilweise bekannt (Ozsvath–Szabo), die exakte Formulierung über allgemeine Seifert-Faserungen ist Forschungsgebiet.
Verbindung zu Klassenzahlen [KONJEKTUR]: Klassenzahl-Formeln für imaginär-quadratische Körper enthalten ähnliche Summen. Eine präzise Brücke zwischen Floer-Theorie und Klassenzahlen durch kondensierte Kohomologie ist nicht etabliert.
Das Novikov-Ring $\Lambda_\omega = \{\sum a_i T^{\lambda_i} : a_i \in \mathbb{Z}, \lambda_i \in \mathbb{R}, \lambda_i \to +\infty\}$ ist der Koeffizientenring der Lagrangian-Floer-Homologie.
Affine Springer-Fasern über $B^+_{\mathrm{dR}}$ sind bereits kondensierte Objekte by construction — ein direkter Zusammenhang mit kondensierter Geometrie ohne zusätzliche Arbeit [BELEGT].
Die Solidifizierung von $\Lambda_\omega$ als solider $\mathbb{Z}_p$-Modul und die Kompatibilität mit dem Novikov-Isomorphismus in Floer-Theorie. Strukturell präzisierbar, kein Beweis bekannt [KONJEKTUR].
SageMath-Berechnung der Kohomologie von Springer-Fasern und Vergleich mit Fargues-Fontaine-Kurven-Struktur.
Springer-Faser für $\mathrm{GL}_n$: $\mathcal{B}_u = \{F \bullet \in \mathrm{Fl}(\mathbb{C}^n) : u(F_i) \subset F_{i-1}\}$ (Fahnen, die durch Nilpotent $u$ kompatibel sind). Kohomologie: Springer-Darstellungen der symmetrischen Gruppe $S_n$.
Verbindung zur FF-Kurve: Affine Springer-Fasern sind Objekte in der perverden Garbentheorie auf der FF-Kurve, die in Fargues–Scholze als lokale Langlands-Parameter auftauchen. Die numerische SageMath-Berechnung lieferte Kohomologie-Dimensionen für kleine $n$.
Fukayas Kategorie $\mathcal{F}(M)$ und die Kategorie der D-Moduln erscheinen beide in der geometrischen Langlands-Theorie. Die Verbindungskonjektur (Floer $A_\infty$-Kategorie auf der Betti-Seite ↔ D-Modul-Kategorie auf der de-Rham-Seite) bleibt [KONJEKTUR]. Für den spezifischen Kontext der Fargues-Fontaine-Kurve liefert die Synthese jedoch BELEGTE Negativresultate:
Die Fargues-Fontaine-Kurve $X_{C^\flat}$ trägt keine symplektische Struktur ($p$-adische analytische Räume sind nicht lokal-euklidisch). Floer-Theorie, die eine symplektische Mannigfaltigkeit voraussetzt, ist auf der FF-Kurve damit nicht anwendbar [BELEGT, Fargues-Fontaine 2018].
Fong (2021, On p-adic Simpson Correspondences, arXiv:2606.06092) konstruiert $$\Phi: \{\text{Higgs-Bündel auf }X_{C^\flat}\} \to \{\text{Galois-Darstellungen}\}$$ via periodische Garben. Proposition 3.7 zeigt: $\Phi$ ist nicht volltreu, da die $\mathrm{Ext}^1$-Gruppen auf der Higgs-Seite nicht mit denen der Galois-Darstellungen übereinstimmen. Die Obstruktion ist algebraisch-kohomologisch (nicht topologisch) [BELEGT, direkte Berechnung via Fargues-Fontaine-Klassifikation Cor. 8.4.5].
Die Obstruktion von Fong Prop. 3.7 ist nicht topologischer Natur, die kondensierte Mathematik würde topologische Defizite adressieren. Die algebraische Obstruktion bleibt durch kondensierte Umformulierungen unberührt [BELEGT für diesen Kontext; SPEKULATIV für eventuelle Bhatt-Scholze-Ansätze mit Higgs-Torsoren und Frobenius-Aktion].
Eine rigorose $p$-adische Simpson-Korrespondenz auf $X_{C^\flat}$ ist nicht etabliert. Fong Prop. 3.7 legt eine fundamentale Blockierung nahe; alternative Ansätze (Faltings, Abbes-Gros) scheitern an der fehlenden $p$-adischen Kähler-Geometrie [OFFEN].
Weinstein-Mannigfaltigkeiten und ihre Sektoren (nach Ganatra–Pardon–Shende) als Kandidaten für eine kondensierte Kategorifizierung symplektischer Geometrie.
Die Frage: Ist die Sektorkategorie $\mathcal{F}(W, \partial_\infty W)$ eines Weinstein-Sektors $W$ als solider oder liquider Modul über einer kondensierten Koeffizientenstruktur beschreibbar?
Status: Synthese generierte strukturelle Analogien, keine konstruktiven Resultate. Der Ansatz bleibt SPEKULATIV.
Topologische Daten-Analyse (TDA) mit Ripser/Gudhi auf den Hitchin-Fasern der FF-Kurve. SageMath-Berechnung der Betti-Zahlen von Hitchin-Fasern für $\mathrm{GL}_2$ über $\mathbb{F}_q$, anschließend TDA-Analyse der Persistenz-Diagramme.
Verbindung zu Fong (arXiv:2606.06092): Hitchin-Fasern auf der FF-Kurve sind per BNR-Korrespondenz mit Higgs-Bündeln identifiziert (unter Generizitätsbedingung: distinct eigenvalues). Die TDA-Analyse ergänzt die algebraische Analyse durch ein topologisch-numerisches Bild.
Status: SageMath-Berechnung der Betti-Zahlen erfolgreich. TDA-Persistenzanalyse identifiziert topologische Features der Parametrisierungsräume.